Η πράξη της διαίρεσης

 

Διαίρεση είναι η πράξη στην οποία δίνονται δύο αριθμοί και ζητάμε να βρούμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό, ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον διαιρέτη θα μας δίνει γινόμενο ίσο ή μικρότερο με τον διαιρετέο.

 

20              :              5         =       4

Διαιρετέος       Διαιρέτης         Πηλίκο

 

 

Όταν η διαίρεση δεν αφήνει υπόλοιπο λέγεται τελεία ( τέλεια) , ενώ όταν αφήνει υπόλοιπο λέγεται ατελής.

 

Η τέλεια διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.

 

Η δοκιμή της διαίρεσης είναι :

 

Διαιρετέος  =  διαιρέτης  x  πηλίκον  +  υπόλοιπο

 

Το σημείο της διαίρεσης είναι  :   και εκφωνείται δια

 

Έχουμε δύο είδη διαίρεσης, τη διαίρεση μερισμού και τη διαίρεση μέτρησης.

 

Διαίρεση μερισμού είναι η πράξη κατά την οποία μοιράζουμε έναν δοσμένο αριθμό σε τόσα μέρη, όσα έχει ο άλλος αριθμός που μας έχει δοθεί.

 

Έχω 12 μήλα και θέλω να τα μοιράσω σε 4 μαθητές. Πόσα μήλα θα πάρει ο κάθε μαθητής;

 

Διαίρεση μέτρησης είναι η πράξη κατά την οποία βρίσκουμε πόσες φορές χωράει ένας αριθμός σε έναν άλλο.

 

Ο Βασίλης έχει 36 γραμματόσημα. Θέλει να τα τοποθετήσει στο  άλμπουμ του όπου η κάθε σελίδα χωράει 12 γραμματόσημα. Πόσες σελίδες θα χρησιμοποιήσει ο Βασίλης από το άλμπουμ γραμματοσήμων;

 

Οποιοσδήποτε αριθμός διαιρεθεί με τη μονάδα το πηλίκον ισούται με τον ίδιο τον αριθμό.

3:1=3

 

Εάν έχουμε να διαιρέσουμε το 0 με έναν αριθμό το πηλίκον ισούται με το 0

0:3=0

 

Η διαίρεση ενός αριθμού με το 0 είναι ΑΔΥΝΑΤΗ γιατί δεν υπάρχει αριθμός που να πολλαπλασιαστεί με το 0 και να δώσει αριθμό εκτός από το 0.

3:0= Δεν γίνεται  γιατι 0 . πηλίκο = 0 και όχι 3

 

Η διαίρεση ενός αριθμού με τον εαυτό του δίνει πηλίκο τη μονάδα.

 

Ιδιότητες της διαίρεσης

 

Επιμεριστική ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση ιδιότητα

 

Για να διαιρέσουμε ένα άθροισμα δύο ή περισσότερων αριθμών μπορούμε να υπολογίσουμε πρώτα το άθροισμα των αριθμών και να το διαιρέσουμε στη συνέχεια.

( 22 + 34)  : 2 = 56 :2 = 28

 

ή να διαιρέσουμε κάθε προσθετέο με τον αριθμό και στη συνέχεια να προσθέσουμε όλα τα πηλίκα.( επιμεριστική ιδιότητα)

(22 + 34)  : 2 =  ( 22 : 2) + ( 34 : 2) = 11 + 17=28

 

Διαίρεση αθροίσματος με άριθμό: Για να διαιρέσουμε άθροισμα με έναν αριθμό, μπορούμε να διαιρέσουμε όλους τους προσθετέους του αθροίσματος με τον αριθμό αυτό και να προσθέσουμε τα πηλίκα που θα προκύψουν.
 ( 12+6+8) : 2 =  (12:2) + (6:2) +( 8: 2) 
 
Διαίρεση διαφοράς με αριθμό: 

Μπορούμε κανονικά να αφαιρέσουμε από τον μειωτέο τον αφαιρετέο και να διαιρέσουμε στη συνέχεια την διαφορά τους με τον δοσμένο αριθμό.

 

ή  μπορούμε να διαιρέσουμε τον μειωτέο και τον αφαιρετέο με τον αριθμό και να αφαιρέσουμε από το πρώτο πηλίκο το δεύτερο.( επιμεριστική ιδιότητα)

 ( 15-6) : 3 = (15:3) - ( 6:3)
 
Διαίρεση αριθμού με γινόμενο πολλών παραγόντων: Για να διαιρέσουμε έναν αριθμό με γινόμενο οσωνδήποτε παραγόντων, μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμό με τον πρώτο παράγοντα, το πηλίκο που θα βρούμε με τον δεύτερο παράγοντα και ούτω καθεξής, μέχρι να τελειώσουν όλοι οι παράγοντες του γινομένου.
 32: ( 2. 3) =( 32: 2) : 3
 
 Εάν πολλαπλασιάσουμε τον διαιρετέο και τον διαιρέτη μιας ατελούς διαίρεσης με τον ίδιο αριθμό, το πηλίκο θα μείνει το ίδιο και το υπόλοιπο θα πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο αριθμό.
 12: 5 = 2 και 2 υπόλοιπο
12.3   :  5.3  = 2  και 2.3 υπόλοιπο
 
 Διαίρεση γινόμενου με αριθμό: Για να διαιρέσουμε ένα γινόμενο με έναν αριθμό, μπορούμε να διαιρέσουμε ένα μόνον παράγοντα με τον αριθμό αυτό και τους άλλους να τους αφήσουμε όπως έχουν.
 (3.9.6) : 3 =  3. ( 9:3) .6

 

Σε κάθε διαίρεση αν διαιρέσω ή πολλαπλασιάσω και τους δύο όρους της ( Διαιρετέο - διαιρέτη) με τον ίδιο αριθμό το πηλίκο δεν αλλάζει.

120 : 4 = 30

( 120 : 2) : (4 :2) = 60 : 2 =30

 

 

Σύντομες διαιρέσεις

 

Όταν και ο διαιρέτης και ο Διαιρετέος έχουν μηδενικά, αφαιρούμε και από τους δύο τον ίδιο αριθμό μηδενικών και εκτελούμε με τους αριθμούς που έμειναν την πράξη.

35.900 : 500 =  35 : 5 = 7

 

35.950 : 500 = 71 και 45 υπόλοιπο  ή 35950 : 500 = 71 και 4 υπόλοιπο και 5 που χρωστούσα από το μηδενικό  45 υπόλοιπο

 

Όταν ο Διαιρετέος δεν έχει μηδενικά και έχει μόνον ο διαιρέτης, αφαιρούμε τα μηδενικά του διαιρέτη και τόσα ψηφία όσα είναι τα μηδενικά από το τέλος του Διαιρετέου. Κάνουμε κανονικά την πράξη με τα ψηφία που έμειναν και στο τέλος γράφουμε τα ψηφία του Διαιρέτη που αφαιρέσαμε στο υπόλοιπο.

746.200  : 5.000 =   149 και υπόλοιπο 1 βάζω όμως και το 2 που χρωστούσα, άρα υπόλοιπο 12

 

Διαίρεση με το 10, 100, 1000 κλπ

 

Για να διαιρέσω έναν αριθμό με το 10, 100, 1000 κλπ χωρίζω από τα δεξιά προς τα αριστερά του ένα, δύο, τρία κλπ ψηφία ανάλογα με τα μηδενικά που έχει ο διαιρέτης. Το αριστερό τμήμα του Διαιρετέου είναι το πηλίκον, τα δεξί μέρος το υπόλοιπο.

1458 : 100 =  14 πηλίκο και 58 υπόλοιπο

 

Για να διαιρέσουμε έναν δεκαδικό αριθμό με το 10, 100, 1000 κλπ γράφουμε τον αριθμό όπως είναι και μετακινούμε την υποδιαστολή τόσες θέσεις δεξιά, όσα είναι και τα μηδενικά του πολλαπλασιαστή. Αν δεν επαρκούν οι θέσεις συμπληρώνουμε με μηδενικά.

28,1  :  10 = 2,81                    28,1 : 0,01 = 0,281      28 : 10 = 2,8

 

Για να διαιρέσουμε έναν φυσικό αριθμό με το 0,1  0,01   0,001 κλπ, γράφουμε τον αριθμό και προσθέτουμε στο τέλος του τόσα μηδενικά όσα και οι θέσεις των δεκαδικών ψηφίων του διαιρέτη.

28 : 0,1 = 280        28: 0,01 = 2800

 

Για να διαιρέσουμε έναν δεκαδικό αριθμό με το 0,1  0,01   0,001 κλπ, γράφουμε τον αριθμό και μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά τόσες θέσεις όσα και τα δεκαδικά ψηφία του διαιρέτη.

2,85 : 0,1 = 28,5     2,85 : 0,01 = 285      2,85 : 0,001 = 2.850

 

Διαίρεση δεκαδικού αριθμού με ακέραιο

 

Εκτελώ κανονικά τη διαίρεση και βάζω υποδιαστολή στο πηλίκο,πριν κατεβάσω το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή του Διαιρέτη.

35,40 : 15 =   2,36 Το 15 στο 35 χωράει 2 φορές άρα βάζω 2 στο πηλίκο και υποδιαστολή για να κατεβάσω και το 4, το 15 στο 54 χωράει 3 φορές και περισσεύουν 9 κατεβάζω το μηδέν, το 15 στο 90 χωράει 6 φορές.

 

Διαίρεση ακεραίου ή δεκαδικού αριθμού με δεκαδικό αριθμό

 

Παραλείπουμε την υποδιαστολή του διαιρέτη και μεταθέτουμε την υποδιαστολή του Διαιρετέου, τόσες θέσεις δεξιά όσα και τα δεκαδικά ψηφία του διαιρέτη και εκτελούμε κανονικά τη διαίρεση.